Pitágoras y el monocordio:

El origen de la escala natural (o pitagórica) está basado en las investigaciones que el matemático y filósofo Pitágoras (580 a.d.) realizó sobre un sencillo instrumento musical denominado "Monocordio". 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

El monocordio es un instrumento que consta de una sola cuerda tensada sobre un bastidor. Uno de los extremos está sujeto al bastidor y en el otro extremo pueden colgarse pesos para experimentar con diversas tensiones sobre la cuerda. La longitud también es variable desplazando uno de los soportes del bastidor, como se indica en la figura inferior: 

 

 

 

 

Una cuerda sujeta de este modo, al ser pulsada, vibrará y debido a que los dos extremos de la cuerda están sujetos y fijos a las piezas triangulares del bastidor, sólo serán posibles vibraciones en las que la semi longitud de onda sea un múltiplo de la longitud de la cuerda (onda estacionaria con desplazamiento nulo en los extremos)

 

 

 

 

 

La expresión (1) nos da la frecuencia de la onda que es función de L (la longitud de la cuerda), T (la tensión), d (la densidad del material de que está fabricada y S (la sección).

La longitud de onda fundamental es aquella que es doble de la longitud de la cuerda (expresión (2)) y de la relación entre la longitud de onda y la frecuencia se cumple que la velocidad de propagación de la onda viene dada por la expresión (3) que es, como no puede ser de otra manera, independiente de la frecuencia.

En general, la ecuación de ondas para una cuerda sujeta en ambos extremos tiene infinitas soluciones que se expresan como suma de infinitos términos exponenciales complejos, donde la frecuencia de cada uno de los sumandos viene dada por:

 

 

 

A todos los términos adicionales (n distinto de 1) se les conoce como armónicos.

 Pitágoras descubrió (bueno, él no inventó la música tonal; ya existía en otras culturas, aunque seguramente fue el primero en realizar una experimentación científica) que si en lugar de poner una cuerda ponía dos y desplazaba el soporte sobre el que descansaba una de las cuerdas unas ciertas longitudes, al pulsar las dos cuerdas simultaneamente se producía un sonido armonioso, es decir, agradable al oído humano.

Lo que hizo fue acortar la segunda cuerda en la siguiente relación: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 y 1/6 con lo que definió intervalos de sonidos cuya relación entre frecuencias es la siguiente:

Supongamos que la cuerda de longitud L vibra con una frecuencia de 1Hz (por poner una cantidad cualquiera y simplificar los cálculos). Si dividimos la cuerda en dos, su nueva longitud es L1 = 1/2L; por tanto, la nueva frecuencia de vibración será f2 = 2 f. Si ahora reducimos la cuerda a su tercera parte, su longitud será L2 = 1/3L y vibrará con una frecuencia f2 = 3 f1 y así sucesivamente, obteniendo por tanto 

f

f1 = 2 f

f= 3 f

f3 = 3 f

f4 = 4 f

f5 = 5 f

f6 = 6f

Valiéndose de estas proporciones, Pitágoras comprobó que dos sonidos tocados simultaneamente resultaban agradables cuando el cociente de la longitud entre las cuerdas era una fracción cuyo numerador y denominador eran números enteros; por ejemplo, una cuerda doble o triple que la otra, etc.

Por otro lado, resulta que un sonido de una frecuencia determinada y otro sonido con frecuencia doble, escuchados simultáneamente, suenan casi igual. Naturalmente, apreciamos que uno es más agudo que otro, pero producen la misma sensación sonora. Es lo que se conoce como octava: dos sonidos separados entre si por una frecuencia doble exactamente.

Una vez elegidos estos dos sonidos, el principal y el que está a una octava de distancia ¿que otros sonidos intermedios podríamos elegir y que suenen bien?.

Lo primero que se nos ocurre es usar la frecuencia triple (a partir de ahora, consideraremos la frecuencia inicial o fundamental como 1 y su octava como 2), es decir, 3. Pero 3 se sale de la primera octava, por lo que dividimos por dos para que resulte agradable, por lo que la primera nota será 3/2 (luego veremos que dos notas cuyas frecuencias estén relacionadas por 3/2 se llama quinta justa).

Como 1 y 3/2 suena bien, lo siguiente sería añadir la quinta de 3/2, es decir, multiplicamos por 3 y dividimos por 2, lo que nos da 3/2 * 3/2 = 9/4; pero 9/4 es mayor que 2 y deseamos que la nota quede en el intervalo entre 1 y 2, por lo que dividimos por 2 y el resultado es 9/8.

Tenemos por tanto las notas (ordenadas) 1, 9/8, 3/2 = 1, 32/23, 3/2

Volvemos a repetir el proceso y añadimos una quinta a la nota 9/8, multiplicando por 3 y dividiendo por 2, lo que nos da 27/16 = 33/24

Las notas ordenadas serán ahora: 1, 32/23, 3/2, 33/24

De este modo, toda nota añadida tendrá la expresión 3m/2n. siendo m y n números enteros positivos. Notemos, sin embargo que por más notas que añadamos, no podemos alcanzar jamás el 2 (o sea, la octava) debido a que una fracción de números primos es irreductible.

Siguiendo el algoritmo anterior, podemos ir añadiendo notas hasta alcanzar la nota que hace 13 y que sería 312/218 = 2.0272.... muy cercano al 2. Si dividimos por la mitad, obtenemos 1.01364... muy próximo a 1, aunque no llega a ser la nota original.

Al cociente 312/219 que es el número anterior, se le llama coma pitagórica.

Hemos visto, por tanto, que tiene sentido añadir quintas hasta alcanzar un total de doce notas (a la que hace trece, no volvemos a repetir el intervalo pero casi.....luego veremos que esto da lugar a muchos problemas).

Por tanto, las notas de la escala natural (normalizadas a la unidad) están dadas por la siguiente secuencia:

1, 37/211, 32/23, 39/214, 34/26, 311/217, 36/29, 3/2, 38/212, 33/24, 310/215, 35/27

Resumen

La escala natural se forma partiendo de una nota fundamental y creando una quinta (3/2) a partir de ella; en un segundo paso se forma una quinta de la quinta anterior y así sucesivamente vamos rellenando la octava con las notas que vamos obteniendo hasta llegar a 12 notas porque si añadimos una más, la nota que obtenemos es prácticamente la octava o la de partida si dividimos por 2.